Die Artikelserie von Omicron Lab geht in die dritte Runde: In diesem Teil beschäftigen sich die Autoren mit einer mathematischen Methode, mit der Kondensatoren und Widerstände mit der Kurve des Bode-Diagramms verknüpft werden können. Dies kann mit Hilfe der Übertragungsfunktion gelöst werden.
Die Frequenzganganalyse und die Schleifenmessung waren Gegenstand der ersten beiden Teile der Serie. Es wurde gezeigt, worauf in einem Bode-Diagramm zu achten ist und wie das Bode-Diagramm eines stabilen Netzteils aussehen sollte. Jetzt fehlt noch das Bode-Diagramm der netzgeregelten Strecke. Seine Kurvenform muss mit einigen zusätzlichen Schaltungen geändert werden, damit das endgültige Bode-Diagramm die Stabilitätskriterien erfüllt. Der zusätzliche Schaltkreis, der eine Änderung der Kurve im Bode-Diagramm ermöglicht, ist der Regler. Bei analogen Netzteilen besteht der Controller typischerweise nur aus einem invertierenden Operationsverstärker mit wenigen Kondensatoren und Widerständen.
Die Reglerschaltung selbst ist sehr einfach. Schwierig wird es erst, wenn die Werte der Kondensatoren und Widerstände berechnet werden müssen, um die richtige Kurvenform des endgültigen Bode-Diagramms zu erhalten. Aber wie wird diese Berechnung durchgeführt? Sind einige Komponenten zufällig ausgewählt und angelötet in der Hoffnung auf eine stabile Stromversorgung? Es ist besser, die Kondensatoren und Widerstände mit einer mathematischen Methode mit der Kurve des Bode-Diagramms zu verknüpfen; diese Aufgabe übernimmt die Übertragungsfunktion.
Dies ist ein mathematisches Modell der Schaltung, das den Eingang mit dem Ausgang in Beziehung setzt. Wenn die Übertragungsfunktion des Systems und die am Eingang verwendete Sinuswelle - zB 1 V Amplitude bei 10 Hz - bekannt sind, können Amplitude und Phase der Sinuswelle am Ausgang berechnet werden. Auf diese Weise kann das Bode-Diagramm des Systems mathematisch dargestellt werden, bevor es implementiert wird.
Die Übertragungsfunktion verknüpft die Eingabe mit der Ausgabe und lautet per Definition:
Ein einfacher Tiefpassfilter ist in Abbildung 1 dargestellt. Mit der Spannungsteilergleichung erhalten wir:
Bitte beachten Sie, dass zur Vereinfachung der Algebra nur der Laplace-Operator »s« verwendet wird. Laplace ist ein weiteres mathematisches Werkzeug, das Ihnen bei der Analyse von Schaltungen hilft. Durch Ersetzen von ZC und ein wenig Algebra erhalten wir die Übertragungsfunktion H (s):
Aus der vorherigen Gleichung ist ersichtlich, dass die Übertragungsfunktion eine komplexe Zahl ist. Dadurch können Amplitude und Phase durch Variation der Frequenz angezeigt werden. Damit ist es möglich, die Komponentenwerte R und C auf die Kurve des Bode-Diagramms zu beziehen und das Ziel – die Darstellung des Bode-Diagramms mit Hilfe der Übertragungsfunktion – ist erreicht.
Ist die Kurve im Bode-Diagramm nicht zufriedenstellend, kann sie durch Veränderung der R- und C-Werte beeinflusst werden.
Die Verstärkung einer komplexen Zahl kann wie folgt bestimmt werden:
Dabei ist jedoch zu beachten, dass das Ergebnis nicht mehr komplex ist und somit die Verstärkung in Abhängigkeit von der Frequenz dargestellt werden kann, was meist in Dezibel erfolgt (Abb. 2). Das Ergebnis ist der Amplitudengang des Bode-Diagramms. Das gleiche kann nun für die Phase gemacht werden. Um die Phase einer komplexen Zahl zu bestimmen, wird die folgende Gleichung benötigt:
Auch diese Gleichung ist nicht komplex und daher kann die Phase über der Frequenz aufgetragen werden, um den Phasengang des Bode-Diagramms zu erhalten (Bild 3).
Die Pole einer Übertragungsfunktion Wenn α = 2πRC definiert ist, lautet die Übertragungsfunktion des einfachen Tiefpassfilters wie folgt:
Wenn Sie s von -∞ bis + ∞ ändern, wird s schließlich gleich -1 / α und somit wird der Nenner der Übertragungsfunktion Null. An diesem Punkt wird der Zahlenwert der Übertragungsfunktion unendlich. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die Ausgangsspannung gegen unendlich geht, sondern nur der Zahlenwert der Übertragungsfunktion. Aber aufgepasst: Mathematiker sprechen hier von „nicht definiert“, für Ingenieure reicht der Begriff „unendlich“.
Dieser Punkt wird Pol oder Pol des Systems genannt. Immer wenn der Zahlenwert der Übertragungsfunktion unendlich ist, gibt es einen Pol im System. Die Lage der Pole – und der Nullstellen – wird übrigens nur bestimmt, weil sie Auskunft über die Stabilität des Systems geben. Die R- und C-Werte sind im Amplitudengang dargestellt und man erkennt, dass bei 10 kHz ein Pol existiert.
Eigenschaften eines Pols in der Übertragungsfunktion Für die Einflüsse von Polen sind zwei Dinge wichtig:
Die Nullstellen einer Übertragungsfunktion Angenommen, eine gegebene Übertragungsfunktion ist:
Der Pol im Nenner wurde bereits erklärt, darum geht es beim Zähler. Wenn Sie s von -∞ bis + ∞ variieren, wird s irgendwann gleich -β sein. Dies wird als "Null" der Übertragungsfunktion bezeichnet, da der "Zahlenwert" der Übertragungsfunktion an dieser Stelle Null ist. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die Ausgangsspannung gegen Null geht. Die Positionen der Nullstellen in der Übertragungsfunktion sind von Interesse, da sie Aufschluss über die Stabilität des Systems geben.
Eine Null – in der linken Halbebene – ist wie ein »Gegenpol«: Bei jeder Null im System erhöht sich die Verstärkung um 20 dB pro Dekade und wir erhalten eine Phase, die um 90° voreilt. Bei zwei Nullstellen würde die Verstärkung um 40 dB pro Dekade steigen und die Phase würde um 180° voreilen.
Warum sind die Positionen und die Anzahl der Pole und Nullstellen von Interesse? Als Designer können Sie durch die Wahl der R- und C-Werte die Pole und Nullstellen bei bestimmten Frequenzen platzieren und so den Verlauf des Bode-Diagramms beeinflussen. Die Kurvenform des Bode-Diagramms kann daher manipuliert werden, um die Stabilitätskriterien zu erfüllen.
Übertragungsfunktionen werden als mathematische Hilfe beim Entwurf von Schaltungen verwendet. Doch wie gut stimmen die simulierten Bode-Diagramme mit der Praxis überein? Es gibt nur einen Weg, das herauszufinden, die Vergleichsmessung.
Ein Tiefpassfilter mit R = 1,59 kΩ und C = 10 nF wurde bereits simuliert, was eine Polfrequenz von 10 kHz ergibt. Die simulierten Diagramme zeigen, dass bei 10 kHz die Verstärkung -3 dB und die Phasenverschiebung -45° beträgt. Im Hochfrequenzbereich >> 10 kHz eilt die Phase um -90 ° nach und die Steigung des Amplitudengangs beträgt -20 dB pro Dekade. Im nächsten Schritt wird ein echter RC-Tiefpass mit R = 1,6 kΩ und C = 10 nF mit dem Vektor-Netzwerkanalysator Bode 100 von Omicron Lab vermessen. Sind die aufgestellten Hypothesen richtig, dann sollten die realen Messwerte den simulierten Werten sehr nahe kommen. Abbildung 4 zeigt die realen Messwerte. Es ist deutlich zu erkennen, dass eine nahezu perfekte Übereinstimmung mit der Simulation besteht.
Im dritten Beitrag wurden die Übertragungsfunktionen und ihre Pole und Nullstellen erläutert. Grundsätzlich kann das Bode-Diagramm einer Schaltung durch geeignete Platzierung der Pole und Nullstellen beliebig gestaltet werden. Durch entsprechende Auswahl von Schaltungskomponenten wie Widerständen und Kondensatoren können Pol- und Nullpunkte positioniert werden.
Netzteil-Designer verwenden eine als "Regler" bekannte Schaltung, um sicherzustellen, dass das Netzteil Stabilitäts- und andere Leistungsanforderungen erfüllt. Bei analogen Netzteilen besteht diese Schaltung fast immer aus einem invertierenden Operationsverstärker mit Polen und Nullstellen, den der Konstrukteur durch korrekte Berechnung der R- und C-Werte platziert.
Nach der Erläuterung der Übertragungsfunktionen und deren Pole und Nullstellen geht es im nächsten Teil der Reihe weiter mit Stromversorgungsreglern, deren Übertragungsfunktionen, Pole und Nullstellen und deren Auslegung im Frequenzbereich.
Die Reihe "Steuerung von Schaltnetzteilen - Schritt für Schritt" besteht aus einer Reihe von Fachartikeln rund um die Steuerung von Schaltnetzteilen. Es basiert auf Auszügen aus den Seminaren "Biricha Analog and Digital Power Supply Design". Dort lernen die Elektroingenieure, wie eine stabile Steuerung für ein Schaltnetzteil in der Praxis richtig und technisch gut dimensioniert werden kann.
Hier können Sie auch die ersten beiden Teile der Reihe lesen oder die Printausgaben in unserem Shop bestellen:
Teil 1: Stabilität im Netzteil, bzw. in Elektronik Ausgabe 2019, Nr. 13, S. 20 Teil 2: Messung des Frequenzgangs oder in Electronics Ausgabe 2019, Nr. 14, S. 20 41
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